Théorie des corps et algèbre bilinéaire

UE Algèbre 1 (Z436AU02), c’est-à-dire : Groupes (groupes finis, groupes opérant sur un ensemble, groupes symétriques et alternés et simplicité des groupes alternés, groupes résolubles) Arithmétique dans les anneaux (anneaux factoriels, principaux, euclidiens, éléments irréductibles, idéaux premiers et maximaux, anneaux de polyn?mes, irréductibilité des polyn?mes)

Structures algébriques Corps, corps finis, construction de corps contenant des racines de polyn?mes Correspondance de Galois Formes quadratiques, classification sur plusieurs corps

Partie I : Théorie des corps.

Extensions de corps. Corps de rupture, corps de décomposition, cl?ture algébrique. Corps finis.
Théorie de Galois des extensions finies. Polyn?mes cyclotomiques et corps cyclotomiques.
Applications a? la résolubilité des équations polynomiales et a? la géométrie (constructions a? la règle et au compas).

Partie II : algèbre bilinéaire.

Généralités sur les formes bilinéaires : lien avec la dualité, matrice représentative, problème de classification, rang, discriminant.
Formes bilinéaires symétriques et formes quadratiques (en caractéristique différente de 2) : orthogonalité, existence de bases orthogonales, classification dans le cas algébriquement clos, le cas réel (loi d’inertie de Sylvester et signature, méthode de Gauss), et le cas des corps finis.

Structures algébriques Corps, corps finis, construction de corps contenant des racines de polyn?mes Correspondance de Galois Formes quadratiques, classification sur plusieurs corps