Intégration, probabilités et analyse de Fourier

Pas de pré-requis spécifique pour un étudiant disposant d’un L3 Mathématiques ou équivalent

Maitriser la théorie de Lebesgue de l’intégration et le modèle probabiliste abstrait. Connaitre les différents types de mesures, comment on les construit et ce qu’elles peuvent représenter. Découvrir quelques espaces fonctionnels fondamentaux et leurs propriétés. Définir la transformation de Fourier dans divers cadres et voir comment elle fonctionne. Constater les apports de la théorie de Fourier en analyse et en probabilités. Comprendre les différents types de comportements asymptotiques pour une suite de grandeurs aléatoires et faire les liens entre ces modes de convergence. Utiliser le bagage théorique pour prouver les grands théorèmes limites utiles en modélisation aléatoire.

Notion de tribu, de fonction mesurable, de variable aléatoire, de loi d’une variable aléatoire ;
Construction d’une mesure par prolongement : le cas de la mesure de Lebesgue ;
Intégrales par rapport à une mesure. Espérance. Construction de mesures à densité ;
Théorèmes de convergence dominée de Lebesgue et de convergence croissante de Beppo-Levi. Dérivabilité sous l’intégrale ;
Inégalité de H?lder et Minkowski ; espaces L^p. Moments d’une variable aléatoire ;
Théorème de représentation de Riesz et de Radon-Nikodym ;
Mesure produit ; théorème de Fubini. Construction de v.a. indépendantes ;
Convolution des fonctions. Convolution des mesures. Interprétation en probabilités ;
Convergence presque s?re d’une suite de v.a. Loi des grands nombres. Théorème de Glivenko-Cantelli ;
Transformation de Fourier des fonctions et des mesures. Inversion ;
Convergence étroite d’une suite de mesure. Convergence en loi d’une suite de v.a. Compacité par la tension. Théorème de Paul Lévy.
Lois gaussiennes multidimensionnelles. Théorème centrale limite vectoriel. Application au test d’adéquation en loi du chi-deux

Maitriser la théorie de Lebesgue de l’intégration et le modèle probabiliste abstrait. Connaitre les différents types de mesures, comment on les construit et ce qu’elles peuvent représenter. Découvrir quelques espaces fonctionnels fondamentaux et leurs propriétés. Définir la transformation de Fourier dans divers cadres et voir comment elle fonctionne. Constater les apports de la théorie de Fourier en analyse et en probabilités. Comprendre les différents types de comportements asymptotiques pour une suite de grandeurs aléatoires et faire les liens entre ces modes de convergence. Utiliser le bagage théorique pour prouver les grands théorèmes limites utiles en modélisation aléatoire.